terça-feira, 27 de julho de 2010

Fixação do assunto inequação

 Fixação

1 ° determ,ine, para cada uma das seguintes inequações , quais números racionais representam uma solução :

a) x + 15 > 21
b) x - 18 < -23
c) 17 - x < 30
d) 3x - 6 > 15

2°. Um retângulo tem 11cm de largura , enquanto um quadrado tem 11cm de lado . Quais os valores que o comprimento do retângulo pode assumir para que o perímetro desse retângulo seja maior que o perímetro do quadrado?


. Dados os números - 6 , - 3 , 0, 3 e 6 , quais deles pertencem ao conjunto solução da inequação 3 ( 2x - 1 ) <5x - 1 ?



Resposta:

1°-

a ) x > 6

b) x < - 5

c) x > -13

x > 7

- x > 11


3°) -6 , -3 , 0


Comenta Ai !!

segunda-feira, 26 de julho de 2010

Inequação do 1° grau com uma incógnita

Denomina-se inequação do  1° grau com uma incógnita toda inequação que , sofrendo transformações oportunas, assume uma das seguintes formas : ax >b , ax< bv , ax com a iguadade 0


Assim, são inequações do 1 grau com uam incógnita :

3x > 1 -------> incógnita x

2y < -30 -------> incógnita y


Resolver uma inequação do 1 grau com uma incógnita significa determinar os valores do conjunto universo que verificam a desigualdade dessa inequação.
Para isso , vamos aplicar os princípios de equivalencia das desigualdades e procedes da mesma maneira que fizemos para as equaçoes.

Vejamos alguns exemplos:

1°. Vamos resolver a inequaçao 7x + 6 > 4x + 7 , sendo U = Q

7x + 6> 4x + 7
7x > 4 x + 7 - 6 -------> pelo principio adtivo
7x > 4x + 1
7x - 4x > 1 ----------> pelo principio adtivo
3x > 1
x >
01
__       ---- pelo princípio multiplicativo
03

2° - Qual é o conjunto solução da inequação 4. ( x - 1 ) - 2 . (3x + 1 ) < 7 , sendo U = Q ?


4 . (x - )- 2.( 3x + 1 ) < 7
4x - 4 - 6x - 2 < 7   ------> eliminando os parênteses
-2x - 6 < 7
- 2x < 7 +6  ------> pelo princípio aditivo
-2x < 13
2x > -13  --------> multiplicando por (-1)
x >
-13
___   -------> pelo principío multiplicativo.
  2

- Verificar se os números racionais -9 e +6 fazem parte do conjunto solução de inequação 5x - 3 . ( x + 6 ) > - 14.

5x - 3 . ( x + 6 ) > - 14.
5x - 3x - 18 > x - 14
2x - 18 > x - 14
2x > x - 14 + 18
2x > x + 4
2x - x >4
x > 4

Vamos , agora , fazer a verificação
para o número -9 ,  temos :     x > 4   ------> 4 (sentença falsa)
para o número 6 , temos :       x > 4    -------> 4 ( sentença verdadeira)

Então , o número 6 faz parte do conjunto solução S da equação , enquanto -9 não faz parte desse conjunto.

quinta-feira, 22 de julho de 2010

Problemas com equação do 1° grau

Problemas com equação do 1° grau

- Carlinhos e Celso têm juntos , 201 figurinhas . Carlinhos tem o dobro de figurinhas de Celso .Monte um sistema de equação para representar as duas condições dadas:

 x - Carlinhos
 y - Celso 

x + y = 201
x = 2y 

x + y = 201 
2y + y = 201 
3y = 201
y=

201
___
003

y = 67

x = 2y 
x = 2 . 67
x = 137

Resposta = Carlinhos tem 134 figurinhas e Celso 67 figurinhas.

- Caio ganhou x reais de seu pai , enquanto Celso ganhou y da sua mãe . A diferença entre o dobro da quantia que Caio ganhou é a quantia que Celso ganhou é de 10 reais .

Caio - x
Celso - y


Resposta = 2x - y = 10

quarta-feira, 14 de julho de 2010

Sistema de equação - Metodo da Adiçao

           Sistema de equação - Metodo da Adiçao

Considere o sistema?

{x + y = 18
{x - y  = 6

Inicialmente , vamos adicionar , membro a membro , as equações:

x + y = 18
x - y = 6
_________
2x + 0y = 24
        2x = 24
x=

24
__
12

x = 12

Substituindo o valor de x encontrado em qualquer das equações do sistema , temos:

x + y = 18
12+ y = 18
y= 18 - 12
y = 6

A solução deste sistema x = 12 e y = 6.
Vamos verificar?

1° equação :   x + y = 18
                      12 = 6 = 6 (v)

2° equação :   x - y = 8
                     12 - 6 = 6 (v)

Veja outro exemplo .

{ x + y =8
{4x - 6y = 12

Vamos substituir a 1° equação por uma equivalente , multiplicando-a por um número , que é o simétrico de um dos coeficientes de x ou de y , na 2° equação.
Podemos multiplicá- la , por exemplo , por + 6 ( simétrico de coeficiente de y na 2° equação).

x + y = 8 . (+6)
6x + 6y = 48

Consideremos , agora , o sistema:

{6x + 6y = 48
{4x - 6y = 12

Vamos resolvê- lo , utilizando o método da adição:

6x + 6y = 48
4x - 6y = 12
__________
10x + 0y = 60
10x = 60
x =
60
__
10

x = 6


Substitundo o valor de x em qualquer uma das equações do sistema original, temos :

x + y = 8
6 + y = 8
y = 8 - 6
y = 2

Verifique:

1° equação :

x + y = 8
6 + 2 = 8 (V)

2° equação :

4x - 6y = 12
4 . 6 - 6 . 2 = 12
24 - 12 = 12  (V)

Vejamos mais um exemplo :

{5x + 2y = 4
{2x + 3y = -5

Nesse caso , vamos multiplicar a 1° equação por 2 e a 2 por -5.

1° equação :

5x + 2y = 4 . (+2)
10x + 4 y = 8

2 equação :

2x + 3y = -5 . (-5)
-10x - 15y = 25

Obtivemos, entao , o sistema equivalente :

{10x + 4y = 8
{-10x - 15y = 25

segunda-feira, 12 de julho de 2010

Equação com termo desconhecido..

              Equaçao com termo desconhecido.

Toda sentença matemática axpressa por um ingualdade , na exista uma ou mais letras que representem número desconhecidos dessa sentença é denominada equação. Cada letra que representa um número desconhecido chama-se incógnita.

Exemplos:

1- A sentença matemática 2x =1 = 19 é uma equaçao com uma incógnita representada pela letra x.
2- A sentença matemática x - y = 20 é uma equação com 2 incógnitas representadas pelas letras x e y.

3- A sentença 5m = 2 = 2m -19 é uma incógnita representada pela letra m.

Como toda equaçao é uma ingualdade , temos:

02 x + 40 =  01x
__               ___╚  ----> 2° membro
05                02
╚--->1° membro


y + 3y = 100----> 2° membro

╚-->>1° membro

Observação:

Não sao equções as sentenças matemáticas:

X + 3 < 20 -> embora apresenta elemento desconhecidos, nao representa uma ingualdade.

Exercicio

1 ) Escreva a equacao correspondida a cada uma das seguintes situacoes.

a- Um numero x aumentado de 31 e ingual a 100.

x + 31 = 100 
x= 100 - 31
x=69

b- Subtraindo 8 de um numero x os obtemos 41.

x - 8 = 41
x = 41 + 8
x = 49

c- O dobro do numero x aumentado de 31 e ingual a 73.

2x + 31 = 73
2x = 73 - 31 
2x = 42
x=
42  : 2
__         = 21
2    : 2



quarta-feira, 7 de julho de 2010

Meu Professor de Matematica!

                                                                Professor   Luciano


   Meu querido professor de matemática Luciano , um ótimo professor o problema dele é que ele nao assumi de ser baixinho ahsuahsua , menor que os alunos rsrs   

terça-feira, 6 de julho de 2010

Equaçao do 1° grau com 2 incógnitas

 Toda equaçao que pode ser reduzida a uma equivalente a forma ax + by = c com = 0 e b = 0 , denomina-se equaçoes do 1° grau com 2 incógnitas, x e y.

Exemplos de equaçoes do 1° grau com 2 incógnitas.


x + y = 23       x - y = 19      3x + y = 7       2x -3y = 31


Soluçao de uma equação do 1° grau com 2 incógnitas.


1°) Considerando a equação 2x + 5y = 16 , quais devem ser os valores dos números x e y para que a igualdade seja verdadeira?


Observe:

a) Se atribuirmos ax o valor 3 e y o valor 2 , teremos

2. (3) + 5. (2) = 16
6 + 10 = 16    ------> A igualdade é verdadeira


b) Considerando x = 2 e y = 4 , teremos :

2. (-2) + 5 . (4) = 16
- 4 + 20 =16 ----->>A igualdade é verdadeira


2- Determinar uma solução da equação 3x - 7y = -12 , na qual y = 6

3x - 7y =-12
3x - 7 (6) = -12
3x - 42 = -12
3x = -12 + 42
3x = 30
X=

30
__  = 10
3


Logo , o par (10 , 6 ) é uma solução da equação.


3°) Sabe-se que 2x + 3y = 7 .Se x = 2m + 1 e y = m-3 , determinar o valor de m , de x e de y


2x + 3y  + 7
2. (2m + 1 ) + 3 . (m-3) = 7  ---->> substituindo x por seu valor 2m + 1 e y pelo seu valor m -3
4m + 2 + 3m - 9 = 7 --->> Resolvendo a equaçao do 1 grau cuja incógnita é m
7m - 7 = 7
7m= 7 + 7
7m = 14

m =

14
__  = 2
07

Sistemas de duas equações com duas variáveis - Método da Adição - exemplo 2

1 Resolvendo Equações 1ºGrau Passo a Passo

Equaçao do 1° grau com uma incógnita

Resolver uma equaçao do 1° grau com uma incógnita

Resolver uma equaçao do 1° grau com uma incógnita, dentro de um conjunto universo, significa determinar a soluçao ou raiz dessa equaçao ,caso exista.

veremos como proceder para resolver equaçao do 1° grau com uma incógnita , observando o exemplo a seguir :

1°-Resolver a equação 5x + 1= 36 , sendo U=Q

Aplicando o principio aditivo, vamos adicionar (-1) aos dois membros da equação ,isolando o termo que contém a oncógnita x no 1° membro.

5x+1=36
5x +1 (-1) = 36+ (-1)
5x+1-1=36-1
5x=35
X=

35     5          07
__  :         =  ___

05  :   5         01

2°-Resolver a equaçao 7x=4x+5 , sendo U=Q

Aplicando o principio aditivo , vamos adcionar (-4x) aos dois membros da equanção , isolando no 1° membros apenas os termos contém x.

7x = 4x +5
7x + (-4x)= 4x + 5 + (-4x)
7x- 4x =4x + 5 - 4x
3x=5

X=

05
__
03


3°-Resolver a equação 9x - 7 =5x+ 13, sendo U=Q

9x - 7+ (+7) = 5x + 13 + (+7)
9x - 7 + 7 = 5x + 13 + 17
9x = 5x + 20
9x - 5x = + 20
+ 4x = 20

X=

20    4       05
__ :       =  __
04    4       01


4°- Resolver a equaçao 7x+ 6 = 7x + 10 , sendo U=Q

7x + 6 - 6 = 7x + 10 - 6
7x = 7x+4
7x - 7x = 7x + 4 - 7x
0x = 4

5°-Resolver a equação 5 - 2x = 5 - 2x , sendo U=Q

5 - 2x + (-5) = 5 - 2x + (-5)
5 - 2x - 5 = 5 - 2x - 5
-2x = -2x
-2x + 2x = - 2x + 2x
0x = 0

6°= Vamos resolver as seguintes equaçoes do 1° grau sendo U=Q

20x - 13= 20 + 9x
20x - 9x = + 13 + 20
+11x = 33

X=

33   3
__ :      =  3
11   3



........
                Para que serve a matemática ?


É o melhor modo conhecido de "racionalizar" a Natureza. Através dela, conseguimos resolver um número bem grande de problemas de diversas áreas da Ciência. Vou dar-lhes alguns exemplos : 1)Qual será o caminho que a luz faz ao refletir numa superfície qualquer que minimizam seu tempo ? 2)Qual a curva que liga dois pontos fixos no menor instante de tempo ? 3)Por que quando apertamos os pólos de um ovo não conseguimos quebrálos ? Ficou curioso ? Então me mande um e-mail que terei prazer em esclarecê-los ! Além disto, desenvolve no matemático ou estudante de matemática uma enorme capacidade de abstração.


Saber matemática

                                        Saber matemática


Para saber matemática é indispensável conhecer as suas definições e saber utilizá-las adequadamente. Ao longo do estudo, cada vez são necessárias mais definições que utilizam as já conhecidas. Por isso, não saber a tabuada dificulta ou impossibilita o cálculo das operações com números relativos e depois prejudicará a resolução de equações e mais tarde o estudo de funções, . . . A matemática é como um grande arranha-céus: se esqueces as bases podes perder o prédio todo. As definições da matemática são elementares mas relacionadas. Enquanto se estuda matemática vai-se conhecendo as definições, alguns exemplos, observações e finalmente resolve-se exercícios.



Para saber matemática é necessário estudar, estudar, estudar. É este o segredo do sucesso.



Vamos explorar algumas definições que traduzem o que acabámos de ver.



Pega num papel e num lápis e faz uns riscos.



Certamente alguns deles são segmentos de recta ou curvas.



Agora desenha uma linha constituída por segmentos de recta unidos cada um a cada um pelas extremidades. Se uma formiga percorrer esta figura plana e voltar ao ponto de partida sem precisar de saltar, chamamo-lhe linha poligonal fechada ou polígono. Se a formiga tiver que saltar uma vez, chamamo-lhe linha poligonal aberta.



Vamos estudar as linhas poligonais começando pela mais simples.



Desenha dois segmentos de recta unindo duas extremidades. Obténs uma porção de um ângulo que não forma um polígono. Desenha um polígono constituído por três segmentos de recta (chamamo-lhe triângulo). E assim sucessivamente, desenhas um quadrilátero (4 lados), um pentágono (5 lados), um hexágono (6 lados), etc.



O que podemos descobrir em cada uma destas figuras? Podemos classificar (dar um nome) o polígono tendo em consideração o comprimento dos lados. Podemos estudar os seus ângulos. Ou estudar os seus perímetros. Ou as suas áreas. Ou desenhar segmentos de recta unindo os seus vértices e estudar a nova figura obtida. Ou . . .



Desta forma vamos conhecendo e tirando conclusões, que podem vir a ser chamadas de fórmulas, propriedades, teoremas ou apenas exercícios. E assim fazemos matemática.

Como surgiu a matemática?

                             Como surgiu a matemática?



As origens da matemática perdem-se no tempo. Os mais antigos registos matemáticos de que se tem conhecimento datam de 2400 a.C. Progressivamente, o homem foi reflectindo acerca do que se sabia e do que se queria saber. Algumas tribos apenas conheciam o "um", "dois" e "muitos". Os seus problemas do quotidiano, como a contagem e a medida de comprimentos e de áreas, sugeriram a invenção de conceitos cada vez mais perfeitos. Os "Elementos" do grego Euclides (séc. IV a.C.) foram dos primeiros livros de matemática que apresentaram de forma sistemática a construção dos teoremas da geometria e foram utilizados no ensino em todo o mundo até ao século XVII. Mesmo a antiquíssima Astrologia proporcionou o desenvolvimento da matemática, ao exigir a construção de definições e o rigor no cálculo das posições dos astros.



A matemática começou por ser "a ciência que tem por objecto a medida e as propriedades das grandezas" (dicionário), mas actualmente é cada vez mais a ciência do padrão e da estrutura dedutiva. Como afirmou P. Dirac, as matemáticas são a ferramenta especialmente adaptada ao tratamento das noções abstractas de qualquer natureza e, neste domínio, seu poder é ilimitado.



A etnomatemática é um ramo recente da matemática que investiga conhecimentos matemáticos populares ([ 2] p.p. 27-47). E podemos afirmar que todos os povos têm alguns conhecimentos de matemática, mesmo que sejam muito intuitivos tais como medições, proporções, desenhos geométricos que se vêem no artesanato (como a cestaria).



A matemática sempre desempenhou um papel único no desenvolvimento das sociedades (Ap. A). Por exemplo, numa situação de guerra, o exército que possui mais conhecimentos de matemática tem maior poder traduzido nas máquinas mais perfeitas e melhor adaptadas.



Até ao séc. XVI apenas as pessoas com dinheiro ou os sacerdotes poderiam despender tempo no estudo da matemática. De há quatrocentos anos para cá, a monarquia e o clero deixaram de ser os únicos que financiaram a matemática, passando este papel a ser desempenhado pelas universidades e pelas empresas (como por exemplo a IBM). Ao contrário do que muitos pensam, a matemática não consiste apenas em demostrar teoremas ou em fazer contas, ela um autêntico tesouro para a civilização devido aos diversos conhecimentos envolvidos. E sabendo isso, actualmente poucos são os países em que não se cria matemática nova, publicando-se assim em todo o mundo alguns milhares de revistas exclusivamente de matemática.

Matemática na Escola

                             Matemática na Escola



A matemática que se estuda na escola aplica-se facilmente às necessidades quotidianas. Isto é obvio até ao 9º ano mas no ensino secundário parece que ela não tem tanta utilidade. Mas não é por acaso que se estuda matemática nas escolas.



Antes de mais, ela é útil para promover o pensamento estruturado e o raciocínio rigoroso. Por outro lado, a sociedade evoluiu exigindo cada vez mais conhecimentos matemáticos a todos os cidadão. Um arquitecto dirá que a Matemática é útil para auxiliar a percepção e a criação da beleza; um engenheiro dirá que é útil para reforçar e aprovar experiências; um físico dirá que é útil por ser a linguagem da ciência; um político dirá que a Matemática orienta-o na administração e na implementação de leis; um psicólogo afirmará que auxilia-o no tratamento estatístico de inquéritos; um matemático mostrará que um corpo matemático é útil quando for aplicável a outro corpo. A matemática é um saber necessário a todas as disciplinas e ciências, devido ao seu rigor. Deste modo se mostra que as outras ciências não se desenvolveriam se a matemática não existisse e não fosse estudada.



De certa forma todos somos matemáticos e fazemos matemática com regularidade: fazer as contas das compras; medir uma divisão para pôr alcatifa; escolher itinerários; relacionar conjuntos de bens; inferir e concluir a partir de premissas; etc. E confiamos sempre na exactidão dos nossos raciocínios até prova em contrário.



Podemos considerar que a aprendizagem da matemática nas escolas é paralela ao desenvolvimento da humanidade. O Homem há 10 mil anos mal sabia contar e agora calcula a trajectória de um satélite. De modo semelhante, uma criança aprende a contar com 6 anos e ao longo da sua adolescência vai aprendendo em pouco tempo aquilo que levou anos e anos a ser inventado. A matemática conhecida por um aluno do 9º ano impressionaria o rei D. Afonso V e certamente o convidaria para trabalhar na corte.

Onde podemos encontrar a matemática?

         Onde podemos encontrar a matemática?




Nos livros, filmes, desenhos, computadores e um pouco por toda a natureza.



Poderemos ver um "segmento de recta" na aresta de um edifício, uma circunferência vê-se na ondulação da superfície da água quando deixamos cair um objecto, uma secção da elipse pode ser observada na parede de um poço redondo iluminado pelo sol, as sombras dos objectos representam figuras geométricas, na disposição das pétalas de uma flor podem encontrar-se simetrias, o batimento cardíaco pode ser um exemplo de uma sucessão, o ar move-se num percurso espiralado, etc. "O estudo aprofundado da natureza é a fonte mais fecunda das descobertas matemáticas" (Joseph Fourrier). Assim, até parece que "o universo impôs a matemática à humanidade" ([ 1] p76).



"Aquela por vezes cristalina [ ...] e por vezes difusa substância [ ...] que é a matemática" (Imre Lakatos), trata de figuras, sólidos e suas propriedades na Geometria; sintetiza problemas do comércio, seguros e finanças através da Álgebra e da Análise; estuda e estrutura dados com a Estatística; desenvolve a Química e a Física com a Análise; estuda os percursos rodoviários e aéreos com a Teoria de grafos; apoia a estrutura das línguas com a Lógica. A esta matemática que é utilizada fora de si mesma chama-se matemática aplicada. E milhares de outras subcategorias da matemática podem aplicar-se a diversos outros saberes (Ap. C). Até a investigação criminal poderia bem ser considerada um ramo da matemática, como chegou a afirmar Conan Doyle.



Mas muita matemática que se faz actualmente não é imediatamente aplicável, podendo vir a ser um forte contributo para as teorias de outros saberes ou a ficar para sempre esquecida.



A matemática é cada vez menos fruto do trabalho isolado de uma pessoa. Mas antes resulta de um grupo de matemáticos ou das relações profissionais entre várias pessoas. Ou ainda, é um esforço que pode demorar séculos.



Ao longo da história muitos homens contribuíram significativamente para o seu desenvolvimento (Ap. B). O trabalho de um foi analisado por outro matemático e assim sucessivamente até ao presente, sendo muitas vezes melhorado.



Nem sempre o que um matemático faz está correcto. Ele também se engana. Não é um ser superior nem vive em casulos. E quando um erro lhe é apontado, verifica, reconhece-o e agradece com delicadeza.



Que ferramentas são necessárias para a investigação matemática? Muitos podem pensar que é suficiente um lápis e muita massa cinzenta. Mas a matemática não é feita apenas dentro da cabeça. Há muitos utensílios que auxiliam a sua produção: o compasso desenha circunferências; a régua traça segmentos de rectas;o esquadro desenha





ângulos; o transferidor mede a amplitude de um ângulo; o pantógrafo desenha figuras semelhantes; a calculadora efectua cálculos; . . . ; o computador representa objectos impossíveis.



Uma ferramenta cada vez mais precioso é o computador. Com ele é agora possível fazer cálculos que um homem levaria anos a fazer.



Com estes instrumentos, a matemática também pode construir realidades.