Ângulos consecutivos de adjacentes

                                 ÂNGULOS








ÂNGULOS CONSECUTIVOS: Dois ângulos são consecutivos se um dos lados de um deles coincide com um dos lados do outro ângulo.

ÂNGULOS ADJACENTES: Dois ângulos consecutivos são adjacentes se, não têm pontos internos comuns. Na figura em anexo, AÔB e BÔC são ângulos adjacentes.

Operações com medidas de ângulos

   Operação com medidas de Angulos

Os ângulos podem ser somados, multiplicados, subtraídos e divididos. Para fazer isso, no entanto, é necessário levar em conta uma característica específica: suas sub-unidades são os minutos e os segundos, e muitas vezes é necessário fazer transformações com medidas de ângulos durante essas operações.

Quando você efetua uma soma de números decimais e quando a soma das unidades chega a dez ou mais, você "leva 1" à casa das dezenas. O mesmo vale para as dezenas ("vai 1" na casa das centenas), e assim por diante.

No caso dos ângulos é a mesma coisa: quando os minutos chegarem a 60 ou mais, você adiciona "1" na casa dos graus.

Veja este exemplo:

 

somando-se os minutos, obtém-se:

 Como o resultado excedeu os 60', ficam 12' na casa dos minutos e vão 60' para a casa dos graus. 60' = 1º, então, você leva 1º para a casa dos minutos.

O mesmo vale para os segundos:
 

 

 sobram 24" e vai 1:

 

Sobram 13' e vai 1º.

                                   Fixação

1)Determine as somas:

a)30° 40' + 15° 35'=

b)10° 30' 45" + 15° 29' 20''=

c)32° 20' 40'' + 17° 50' 12"=

                              Cálculo

a) 30° 40'
+ 15° 35'
_______
45° 75' ( como 60´ vale 1°, tem-se: você subtrai 60 dos minitos porém somente soma 1 nos graus)
R = 46° 05'

b) 10° 30' 45"
+ 15° 29' 20''
_________
25° 59' 65'' ( como 60" vale 1', tem-se: você subtrai 60 dos segundos porém somente soma 1 nos minutos)

25° 60' 05'' ( como 60´ vale 1°, tem-se: você subtrai 60 dos minitos porém somente soma 1 nos graus)


R = 26° 00' 05''

c) 32° 20' 40''
+ 17° 50' 12"
___________
49° 70' 52" ( como 60´ vale 1°, tem-se: você subtrai 60 dos minitos porém somente soma 1 nos graus)

R = 50° 10' 52"

Os Angulos

   Os angulos e seus elementos


  Denominamos ângulo a regiâo convexa formada por duas semi-retas nao opostas que têm a mesma origem.

No ângulo da figura ao lado , podemos descitar os seguintes elementos .

  O ponto V , origem das semi-retas , denominadas vértice do ângulo .
  As semi-retas VA e VB , denominados lados dos ângulos .
  Para indentificar esse ângulo utilizamos a notação AVB -> vértice do angulo

Angulo O ou AOB







            Medidas de um ângulo

 O grau é uma unidade de medida de ângulos : 1 grau corresponde á medida do ângulos ( com vértice no centro da circunferencia ) associado a um arco de 360 da circuferencia.


Exemplos:

               Fixação 


1°) Indentifique o vértice e os lados dos ângulos indicados abaixo?

 a)                                                                    


 







                   C

b) 









                                       Resposta:



a) Vertice = C     Lados = AC e CB

b)  Vertice = O    Lados = AO e OB


...

Fixação do assunto inequação

 Fixação

1 ° determ,ine, para cada uma das seguintes inequações , quais números racionais representam uma solução :

a) x + 15 > 21
b) x - 18 < -23
c) 17 - x < 30
d) 3x - 6 > 15

2°. Um retângulo tem 11cm de largura , enquanto um quadrado tem 11cm de lado . Quais os valores que o comprimento do retângulo pode assumir para que o perímetro desse retângulo seja maior que o perímetro do quadrado?

3° . Dados os números - 6 , - 3 , 0, 3 e 6 , quais deles pertencem ao conjunto solução da inequação 3 ( 2x - 1 ) <5x - 1 ?

Resposta:

1°-

a ) x > 6

b) x < - 5

c) x > -13

x > 7

2°- x > 11


3°) -6 , -3 , 0


Comenta Ai !!

Inequação do 1° grau com uma incógnita

Denomina-se inequação do  1° grau com uma incógnita toda inequação que , sofrendo transformações oportunas, assume uma das seguintes formas : ax >b , ax< bv , ax com a iguadade 0


Assim, são inequações do 1 grau com uam incógnita :

3x > 1 -------> incógnita x

2y < -30 -------> incógnita y


Resolver uma inequação do 1 grau com uma incógnita significa determinar os valores do conjunto universo que verificam a desigualdade dessa inequação.
Para isso , vamos aplicar os princípios de equivalencia das desigualdades e procedes da mesma maneira que fizemos para as equaçoes.

Vejamos alguns exemplos:

1°. Vamos resolver a inequaçao 7x + 6 > 4x + 7 , sendo U = Q

7x + 6> 4x + 7
7x > 4 x + 7 - 6 -------> pelo principio adtivo
7x > 4x + 1
7x - 4x > 1 ----------> pelo principio adtivo
3x > 1
x >
01
__       ---- pelo princípio multiplicativo
03

2° - Qual é o conjunto solução da inequação 4. ( x - 1 ) - 2 . (3x + 1 ) < 7 , sendo U = Q ?


4 . (x - )- 2.( 3x + 1 ) < 7
4x - 4 - 6x - 2 < 7   ------> eliminando os parênteses
-2x - 6 < 7
- 2x < 7 +6  ------> pelo princípio aditivo
-2x < 13
2x > -13  --------> multiplicando por (-1)
x >
-13
___   -------> pelo principío multiplicativo.
  2

3° - Verificar se os números racionais -9 e +6 fazem parte do conjunto solução de inequação 5x - 3 . ( x + 6 ) > - 14.

5x - 3 . ( x + 6 ) > - 14.
5x - 3x - 18 > x - 14
2x - 18 > x - 14
2x > x - 14 + 18
2x > x + 4
2x - x >4
x > 4

Vamos , agora , fazer a verificação
para o número -9 ,  temos :     x > 4   ------> 4 (sentença falsa)
para o número 6 , temos :       x > 4    -------> 4 ( sentença verdadeira)

Então , o número 6 faz parte do conjunto solução S da equação , enquanto -9 não faz parte desse conjunto.

Problemas com equação do 1° grau

Problemas com equação do 1° grau

1°- Carlinhos e Celso têm juntos , 201 figurinhas . Carlinhos tem o dobro de figurinhas de Celso .Monte um sistema de equação para representar as duas condições dadas:

 x - Carlinhos
 y - Celso 

x + y = 201
x = 2y 

x + y = 201 
2y + y = 201 
3y = 201
y=

201
___
003

y = 67

x = 2y 
x = 2 . 67
x = 137

Resposta = Carlinhos tem 134 figurinhas e Celso 67 figurinhas.

2° - Caio ganhou x reais de seu pai , enquanto Celso ganhou y da sua mãe . A diferença entre o dobro da quantia que Caio ganhou é a quantia que Celso ganhou é de 10 reais .

Caio - x
Celso - y


Resposta = 2x - y = 10

Sistema de equação - Metodo da Adiçao

           Sistema de equação - Metodo da Adiçao

Considere o sistema?

{x + y = 18
{x - y  = 6

Inicialmente , vamos adicionar , membro a membro , as equações:

x + y = 18
x - y = 6
_________
2x + 0y = 24
        2x = 24
x=

24
__
12

x = 12

Substituindo o valor de x encontrado em qualquer das equações do sistema , temos:

x + y = 18
12+ y = 18
y= 18 - 12
y = 6

A solução deste sistema x = 12 e y = 6.
Vamos verificar?

1° equação :   x + y = 18
                      12 = 6 = 6 (v)

2° equação :   x - y = 8
                     12 - 6 = 6 (v)

Veja outro exemplo .

{ x + y =8
{4x - 6y = 12

Vamos substituir a 1° equação por uma equivalente , multiplicando-a por um número , que é o simétrico de um dos coeficientes de x ou de y , na 2° equação.
Podemos multiplicá- la , por exemplo , por + 6 ( simétrico de coeficiente de y na 2° equação).

x + y = 8 . (+6)
6x + 6y = 48

Consideremos , agora , o sistema:

{6x + 6y = 48
{4x - 6y = 12

Vamos resolvê- lo , utilizando o método da adição:

6x + 6y = 48
4x - 6y = 12
__________
10x + 0y = 60
10x = 60
x =
60
__
10

x = 6


Substitundo o valor de x em qualquer uma das equações do sistema original, temos :

x + y = 8
6 + y = 8
y = 8 - 6
y = 2

Verifique:

1° equação :

x + y = 8
6 + 2 = 8 (V)

2° equação :

4x - 6y = 12
4 . 6 - 6 . 2 = 12
24 - 12 = 12  (V)

Vejamos mais um exemplo :

{5x + 2y = 4
{2x + 3y = -5

Nesse caso , vamos multiplicar a 1° equação por 2 e a 2 por -5.

1° equação :

5x + 2y = 4 . (+2)
10x + 4 y = 8

2 equação :

2x + 3y = -5 . (-5)
-10x - 15y = 25

Obtivemos, entao , o sistema equivalente :

{10x + 4y = 8
{-10x - 15y = 25